Astronave in moto uniformemente accelerato

I viaggi nello spazio verso lontani sistemi planetari sono il tema di molti romanzi e di tanti film a tema fantascientifico. In essi si dà per scontato che senza particolare difficoltà si possa viaggiare a velocità altissime o, facendo uso di principi fisici attualmente ancora poco chiari, si giustifica la possibilità di attraversare enormi distanze in tempi brevissimi (wormhole, motori a curvatura, salto all’iperspazio). Queste ipotetiche tecnologie potrebbero avere prima o poi delle applicazioni reali, ma non sono il tema di quest’articolo. Ci limiteremo ad ipotizzare la possibilità di raggiungere velocità enormi ed analizzare cosa avviene dal punto di vista del viaggiatore e dell’osservatore, ovvero quali sono le relazioni spazio-temporali tra un sistema (che convenzionalmente supponiamo) in quiete e quello in moto.

Supponiamo quindi di avere un’astronave in grado di accelerare per un tempo indefinito senza però perdere massa. Il moto di questa astronave, per la meccanica classica è descritto dalle seguenti relazioni:

\begin{cases} a= costante \\ v= at \\ x=\frac{1}{2}a t^2 \end{cases}

Poniamoci nell’ulteriore ipotesi che l’accelerazione sia pari all’accelerazione di gravità g=9,81 m/s². Ciò permetterebbe agli occupanti dell’astronave di percepire una “gravità artificiale” pari a quella che si trova sulla Terra, in modo che possano vivere una vita quanto più normale durante un viaggio che può durare anni o decenni.

Con questa accelerazione l’astronave supererebbe l’orbita del pianeta Marte (distante dalla Terra circa 78.000.000 km) in 35 ore raggiungendo la velocità di 1.200 km/s. Proseguendo percorrerebbe tutto il sistema solare arrivando presso l’orbita di Nettuno (4,4 x 10⁹ km) in meno di undici giorni ad una velocità di 9.200 km/s.

A queste velocità per descrivere il moto dell’astronave, si possono utilizzare le relazioni derivanti della meccanica classica senza avere grandi discrepanze con le osservazioni. Quando l’astronave raggiunge velocità più elevate si deve tener conto dei postulati della relatività ristretta e delle conseguenti trasformazioni di Lorentz. Infatti con questa accelerazione, per la meccanica classica, l’astronave percorrerebbe la distanza un anno luce (9,5 x 10¹² km) in 508 giorni, ad una velocità del 140% della luce, il che non è consentito dai postulati della relatività. Ciò significa che è necessario trovare le relazioni che permettano di descrivere il moto dell’astronave nel caso di velocità elevate e che rispettino i postulati di relatività di Albert Einstein.

Per fare ciò partiamo dalle trasformazioni di Lorentz, che stabiliscono le relazioni spaziotemporali tra due sistemi di riferimento inerziali S e S’ in moto l’uno rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme con velocità v lungo l’asse delle ascisse. Il sistema S si può identificare con il riferimento della Terra, che si suppone (per convenzione) fisso. A partire da queste trasformazioni analizzeremo preliminarmente alcuni casi che ci permettono di giungere alla soluzione del nostro problema.

Caso di un’astronave in moto rettilineo uniforme

Il sistema S’ si può immaginare corrispondere a quello dell’astronave che si muove di moto rettilineo uniforme ad una velocità v rispetto al sistema S.

Le seguenti relazioni portano i punti di S, il sistema “in quiete” in S’, i punti del sistema “in moto”:

\begin{cases}x'=\left(x - vt \right) \gamma \\ y'=y \\ z'=z \\t'=\left(t - \frac{v}{c^2} x\right) \gamma \end{cases}

Dove \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, è detto fattore di Lorentz.

Queste relazioni si possono invertire in maniera immediata ottenendo le trasformazioni che portano i punti di S’ in S:

\begin{cases}x=\left(x' + vt'\right) \gamma \\ y=y' \\ z=z' \\t=\left(t' + \frac{v}{c^2} x'\right) \gamma \end{cases}.

Oggetto lanciato dall’astronave in moto

Supponiamo che dall’astronave che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto alla Terra venga lanciato un oggetto in una direzione qualsiasi, quindi con una velocità iniziale rispetto all’astronave u’ con tre componenti non nulle (u'_x, u'_y, u'_z). Rispetto al sistema di riferimento S quest’oggetto avrà una velocità u che si ottiene componendo u’ con v. Le relazioni tra u e u’ si ricavano differenziando le trasformazioni precedenti:

\begin{cases}dx=\left(dx' + v dt'\right) \gamma \\ dy=dy' \\ dz=dz' \\dt=\left(dt' + \frac{v}{c^2} dx'\right) \gamma \end{cases}

Ottenendo quindi:

\begin{cases}\frac{dx}{dt'}=\left(\frac{dx'}{dt'} + v \right) \gamma = \left(u'_x + v\right) \gamma \\ \frac{dy}{dt'}=\frac{dy'}{dt'}=u'_y \\ \frac{dz}{dt'}=\frac{dz'}{dt'}=u'_z \\ \frac{dt}{dt'}=\left(1 + \frac{v}{c^2} \frac{dx'}{dt'}\right) =\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) \gamma \end{cases}.

Si giunge quindi alle trasformazioni di Lorentz relative alla composizione della velocità che relazionano le componenti della velocità u’ in S’ con le analoghe della velocità u in S:

\begin{cases} u_x = \frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dt'} \frac{dt'}{dt}= \frac{ \left(u'_x + v\right) \gamma}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) \gamma }= \frac{ \left(u'_x + v\right) }{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) } \\u_y = \frac{dy}{dt}=\frac{dy'}{dt'} \frac{dt'}{dt}= \frac{u'_y }{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) \gamma}\\ u_z = \frac{dz}{dt}=\frac{dz'}{dt'} \frac{dt'}{dt}= \frac{u'_z}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) \gamma} \end{cases} .

Razzo lanciato dall’astronave in moto

La nostra astronave (in moto rettilineo uniforme), può lanciare un razzo che si allontanerà da essa con un’accelerazione costante. Supponiamo che il lancio possa avvenire solo lungo la direzione del moto dell’astronave. Quest’ultima ipotesi ci serve solo per ridurre i calcoli che seguono permettendo di concentrarci solo sui risultati che ci interessano, il problema potrebbe comunque essere generalizzato.

Quindi il razzo si allontana dall’astronave con un’accelerazione a'_x (ovvero accelera nel sistema di riferimento S’), ci chiediamo quale sia l’accelerazione per l’osservatore in quiete sulla Terra (nel sistema di riferimento S)¹.

La variazione di velocità di un razzo lanciato si ottiene differenziando le precedenti regole di composizione della velocità di Lorentz:

du_x = d \left(\frac{ u'_x + v }{1 + \frac{v u'_x}{c^2}} \right) = \frac{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) d\left(u'_x + v\right) - \left(u'_x + v\right) d\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) ^2} = \frac{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) d u'_x - \left(u'_x + v\right) \frac{v}{c^2} du'_x}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) ^2} = \frac{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2} - \frac{v u'_x}{c^2} - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)^2} du'_x= \frac{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)^2} du'_x=\frac{ du'_x}{\gamma^2 \left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)^2} .

Le trasformazioni di Lorentz implicano la seguente trasformazione dell’accelerazione, ben diversa dall’analoga della meccanica classica:

a_x = \frac{du_x}{dt}=\frac{du_x}{dt'}\frac{dt'}{dt} = \frac{ 1}{\gamma^2 \left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)^2} \frac{ du'_x}{dt'}\frac{dt'}{dt}² =\frac{ a'_x}{\gamma^2 \left(1+ \frac{v u'_x}{c^2}\right)^2} \frac{ 1}{\gamma \left(1+ \frac{v u'_x}{c^2}\right)} = \frac{ a'_x}{\gamma^3 \left(1+ \frac{v u'_x}{c^2}\right)^3}.

La derivazione delle componenti a_y e a_z dell’accelerazione al momento non ci è utile e pertanto non la prendiamo in considerazione. Giungiamo quindi ad affrontare il problema che ci siamo posti.

Astronave ad accelerazione costante

L’astronave in questo caso si muove di moto uniformemente accelerato, l’accelerazione ha solo una componente lungo l’asse delle ascisse a'_x che si suppone pari alla costante gravitazionale g=9,81 m/s². Tale accelerazione sarà mantenuta per tutto il viaggio in modo da indurre una “gravità artificiale” all’interno dell’astronave.

Evidentemente questo caso non rientra nel campo di applicabilità delle trasformazioni di Lorentz, in quanto il sistema S’ solidale all’astronave non è un sistema inerziale essendo accelerato; ma applicando una piccola forzatura è possibile ricondursi ai casi precedenti. A tale scopo si suddivida il tempo di viaggio in tantissimi piccoli intervalli di ampiezza “sufficientemente piccola” da poter ritenere che durante la durata di ciascuno di essi la velocità “non cambia molto” e il moto può considerarsi “praticamente” rettilineo uniforme. In un intervallo di tempo “molto breve” si può quindi ritenere S’ inerziale ed è possibile applicare le trasformazioni di Lorentz.

La velocità in S’ è ovviamente u'_x=0 in quanto il sistema si muove insieme all’astronave. Nel sistema in quiete S la velocità è u_x = \frac{ \left(u'_x + v\right) }{\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) } = \frac{ \left(0 + v\right) }{\left(1 + \frac{v \cdot 0}{c^2}\right) }=v, una quantità variabile nel tempo con una legge che ci apprestiamo a determinare. L’accelerazione per le precedenti relazioni sarà:

a_x = \frac{ a'_x}{\gamma^3 \left(1+ \frac{v u'_x}{c^2}\right)^3} = \frac{ a'_x}{\gamma^3 \left(1+ \frac{v \cdot 0}{c^2}\right)^3} = \frac{ a'_x }{\gamma^3}.

Quindi a_x=\frac{ dv_x }{dt} = \frac{ a'_x }{\gamma^3} \Rightarrow v = \frac{a'_x t}{\sqrt{1 + \frac{{a'_x}^2 t^2}{c^2}} }³ e poiché:

• \frac{ v }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = a'_x t \Rightarrow \frac{ v }{a'_x t} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
• v = \frac{a'_x t}{\sqrt{1 + \frac{{a'_x}^2 t^2}{c^2}}} \Rightarrow \frac{v}{a'_x t} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{a'_x}^2 t^2}{c^2}} }

si ottiene \sqrt{1 - v^2/c^2}= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{a'_x}^2 t^2}{c^2}} }.

Sia quindi dt' un intervallo di tempo infinitesimo nel sistema S’, si verifica facilmente la seguente relazione:

dt'=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \; dt⁴.

Ci proponiamo di ricavare per integrazione la relazione tra il tempo t che misura l’osservatore sulla Terra e il tempo misurato sull’astronave:

t'=\displaystyle \int_0^t d\tau'= \displaystyle \int_0^t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} d\tau=\displaystyle \int_0^t \frac{d\tau}{\sqrt{1+\frac{a^2\tau^2}{c^2}} }=\frac{c}{a}\displaystyle \int_0^t \frac{d \left(\frac{a \tau}{c}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{a\tau}{c}\right)^2} }=\frac{c}{a}\left[\sinh^{-1} \left(\frac{a \tau}{c}\right)\right]_0^t=\frac{c}{a}\sinh^{-1} \left(\frac{a t}{c}\right)

Invertendo quest’ultima si ottiene il tempo misurato dall’osservatore in quiete rispetto a quello che segna l’orologio all’interno dell’astronave: t=\frac{c}{a} \sinh \left(\frac{a t'}{c}\right). Da quest’ultima e dalla relazione v = \frac{a t}{\sqrt{1 + \frac{a^2 t^2}{c^2}}} è possibile ricavare:

v = \frac{a t}{\sqrt{1 + \frac{a^2 t^2}{c^2}}} = \frac{a \frac{c}{a} \sinh \left(\frac{a t'}{c}\right)}{\sqrt{1 + a^2 \frac{c^2}{a^2} \frac{1}{c^2} \sinh^2 \left(\frac{a t'}{c}\right)}}=\frac{c \sinh \left(\frac{a t'}{c}\right)}{\sqrt{1 + sinh^2 \left(\frac{a t'}{c}\right)}}= c \frac{\sinh \left(\frac{a t'}{c}\right)}{ \cosh \left(\frac{a t'}{c}\right)}=c\;tgh\left(\frac{a t'}{c}\right)

Integrando l’espressione della velocità si ottiene l’equazione oraria del moto dell’astronave rispetto all’osservatore sulla Terra:

x=\displaystyle \int_0^t dv = \frac{c^2}{a} \displaystyle \int_0^t \frac{\frac{a v}{c}}{\sqrt{1+\left(\frac{a v}{c}\right)^2}} d\left(\frac{a v}{c}\right)= \frac{c^2}{a} \left[\sqrt{1+\left(\frac{a v}{c}\right)^2}\right]_0^t= \frac{c^2}{a} \left( \sqrt{1+\frac{a^2 t^2}{c^2}} - 1 \right) .

Se al contrario si volesse calcolare il tempo impiegato dall’astronave in funzione della distanza da percorrere basta invertire quest’ultima relazione. Ad esempio si voglia giungere ad una distanza L dalla Terra, si ottiene con semplici passaggi che ci si impiegherà un tempo: T=\sqrt{\frac{L^2}{c^2}+\frac{2L}{a}}⁵.

Abbiamo quindi determinato le seguenti relazioni:

a_x = \frac{a'_x}{\gamma^3}

v= c \tanh\left( \frac{at'}{c}\right)

t'=\frac{c}{a}\sinh^{-1}\left( \frac{at}{c}\right) e la sua inversa t=\frac{c}{a}\sinh\left( \frac{at'}{c}\right)

x=\frac{c^2}{a}\left( \sqrt{1+ \frac{a^2 t^2}{c^2}} -1\right) e la sua inversa t=\sqrt{\frac{x^2}{c^2}+\frac{2 x}{a}}

dove i parametri senza l’apice sono relativi al sistema in quiete S, mentre quelli con l’apice si riferiscono al sistema dell’astronave in moto S’.

In base a queste formule, l’orbita di Marte o Nettuno sarà raggiunta pressappoco nello stesso intervallo di tempo e alla stessa velocità rispetto a quanto ricavato con le formule classiche. L’astronave, continuando nella sua accelerazione, raggiunge però velocità via via più elevate e quindi gli effetti relativistici diventano sempre più significativi e presto non potranno più essere ignorati. Infatti la distanza di un anno luce sarà percorsa in 626 giorni giungendo ad una velocità 0,87 c, coerentemente con i postulati della relatività ristretta, per i quali la velocità della luce rappresenta un limite invalicabile. Analizziamo adesso questi risultati confrontando il moto in S da quello in S’.

Moto dell’astronave nel sistema di riferimento della Terra

Applicando queste formule a distanze via via più grandi si ottengono i risultati riportati in tabella. Scopriamo quindi che un tale sistema di trasporto permette di muoversi nell’immediata periferia del sistema solare in tempi compatibili con la vita umana, ma i viaggi all’interno della nostra galassia o verso altre galassie sembrerebbero impossibili.

Cosa succede nel sistema di riferimento del viaggiatore

La relatività ristretta è caratterizzata dal concetto di tempo relativo. Le trasformazioni di Lorentz, non intervengono sulle sole coordinate spaziali ma trasformano anche la coordinata temporale: il tempo scorre in maniera diversa in sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro. In un sistema in moto gli orologi appaiono più lenti se confrontati con gli orologi in quiete (fenomeno della dilatazione dei tempi). Inoltre nel sistema in moto il tratto da percorrere apparirà più breve (fenomeno della contrazione delle lunghezze). Le suindicate relazioni, permettono di giungere ai seguenti risultati:

Accade quindi qualcosa di sorprendente, nel sistema di riferimento del viaggiatore, per effetto della dilatazione temporale il tempo passa più lentamente. Per l’equipaggio dell’astronave la vita scorre come sempre e le lancette dell’orologio scandiscono i secondi allo stesso modo anche quando la velocità dell’astronave si avvicina a quella della luce. Ma osservati dall’esterno, in un sistema di riferimento in quiete, gli orologi sull’astronave appaiono invece più lenti e la vita dell’equipaggio sembra scorrere al rallentatore e tutto sembra fermarsi quando la velocità dell’astronave diventa molto prossima a quella della luce. Per questo motivo mentre sulla Terra trascorrono anni, sull’astronave potrebbero passare anche solo pochi giorni.

I passeggeri possono invece riscontrare qualcosa di altrettanto sconvolgente: il fenomeno della contrazione delle distanze, che diventerà più significativa tanto più la velocità dell’astronave aumenta. Infatti per essi un tratto che alla partenza era di decine di anni luce si ridurrà tantissimo e sarà percorso in un tempo soggettivo molto ridotto. Anche se sembra può sembrare strano, è proprio questo fenomeno a rendere coerenti le osservazioni tra i viaggiatori e chi è rimasto sulla Terra, scongiurando eventuali paradossi.

Quindi un astronave che viaggia ad un’accelerazione costante di 9,81 m/s², osservata dalla Terra impiegherà quasi 11 anni per percorrere 10 anni luce, mentre per i viaggiatori saranno passati solo 3 anni! La distanza di 15 anni luce viene raggiunta in 3,4 anni e così via. In questo per percorrere 100 anni luce basteranno 5,17 anni. Infatti si utilizza molto tempo nella fase di accelerazione, mentre una volta raggiunta una certa “velocità di crociera” prossima a c in tempo sembra quasi arrestarsi (dal punto di vista dell’osservatore sulla Terra) o lo spazio da percorrere sembra quasi annullarsi (dal punto di vista del viaggiatore). Raggiungere la galassia di Andromeda è quindi realizzabile in appena 15 anni! Ma attenzione, sulla Terra intanto passerebbero comunque 2,5 milioni di anni.

I sistemi stellari nelle immediate vicinanze del Sole. Ogni cerchio concentrico ha un raggio di 10 anni luce maggiore del cerchio che include.

Giungere semplicemente nei pressi di un altro sistema planetario non è il solo nostro obiettivo, infatti dopo quel lungo viaggio vorremmo fermarci ed atterrare su un esopianeta per osservarlo e studiarlo. Bisognerà pertanto tenere in conto anche di una fase di decelerazione per l’astronave. Il viaggio sarà quindi distinto due parti, nella sua prima metà l’astronave accelererà; arrivata a metà strada il verso dell’accelerazione sarà invertito ma con la stessa intensità 9,81 m/s², in modo da garantire la gravità artificiale. L’astronave giungerà quindi a destinazione con velocità nulla dando la possibilità di esplorare il sistema planetario.

Fatti i calcoli si ottengono i seguenti risultati in termini di tempo in funzione della distanza da percorrere. Ovviamente distinguiamo il tempo nel sistema di riferimento della Terra da quello sull’astronave.

Si potrebbe immaginare di intraprendere anche il viaggio di ritorno, impiegando lo stesso tempo dell’andata: giungere presso il sistema di Teegarden, esplorarlo e poi tornare a casa impiegando soggettivamente solo 8 anni. Una volta tornati sulla Terra ci si potrà rendere conto che tutte le persone che si conoscevano sono invecchiate di circa 30 anni. Se si decide invece di raggiungere Kepler-452 b si ritornerebbe invecchiati di circa 26 anni, e una volta a casa ci si imbatterebbe in persone nate quasi 2.800 anni dopo la propria partenza!

Note

(1) Se potessimo utilizzare le leggi della dinamica classica la risposta sarebbe immediata: in qualunque sistema di riferimento inerziale l’accelerazione è la stessa.

(2) Per una delle precedenti relazioni \frac{dt}{dt'}=\left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right) \gamma

(3) \gamma^3 dv_x = a'_x dt \Rightarrow \frac{ dv }{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2} \right)^3}} = a'_x dt \Rightarrow \frac{ dv }{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{2/3}} = a'_x dt
Integrando:
\displaystyle \int_0^v \frac{ d\theta }{\left(1-\frac{\theta^2}{c^2}\right)^{2/3}} = a'_x \displaystyle \int_0^t d\tau \Rightarrow c \displaystyle \int_0^v \frac{ d\frac{\theta}{c} }{\left(1-\frac{\theta^2}{c^2}\right)^{2/3}} = a'_x t
si ottiene:
c \left(\frac{ \frac{v}{c} }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)= a'_x t \Rightarrow
con semplici passaggi algebrici si ottiene l’espressione della velocità:
\frac{ v }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = a'_x t \Rightarrow v^2 = {a'_x}^2 t^2 - {a'_x}^2 t^2 \frac{v^2}{c^2}\Rightarrow v^2 + {a'_x}^2 t^2 \frac{v^2}{c^2} = {a'_x}^2 t^2 \Rightarrow \left(1 + \frac{t^2}{c^2} {a'_x}^2 \right) v^2 = {a'_x}^2 t^2 \Rightarrow v^2 = \frac{{a'_x}^2 t^2}{1 + \frac{t^2}{c^2} {a'_x}^2}

(4) dt' = \gamma \left(dt – \frac{v}{c^2} dx\right) = \gamma \left(1 – \frac{v v_x}{c^2} \right) dt= \gamma \left(1 – \frac{v^2}{c^2} \right) dt = \frac{1}{1 – \frac{v^2}{c^2}} \left(1 – \frac{v^2}{c^2} \right) dt = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt

(5) x=\frac{c^2}{a} \left( \sqrt{1+\frac{a^2 T^2}{c^2}} - 1\right) \Rightarrow 1+ \frac{a}{c^2}L = \sqrt{1+\frac{a^2 T^2}{c^2}}\Rightarrow \left(1+ \frac{a}{c^2}L\right)^2 = 1+\frac{a^2 T^2}{c^2}\Rightarrow 1+ 2 \frac{a}{c^2}L + \frac{a^2}{c^4}L^2 = 1+\frac{a^2 T^2}{c^2}\Rightarrow 2 \frac{a}{c^2}L + \frac{a^2}{c^4}L^2 = \frac{a^2 T^2}{c^2}\Rightarrow 2 L + \frac{a}{c^2}L^2 = a T^2\Rightarrow T = \sqrt{\frac{2 L}{a} + \frac{L^2}{c^2} }