Le trasformazioni di Lorentz - La Relatività Ristretta in Pillole

Le trasformazioni galileiane prevedono che la velocità di un oggetto in movimento si componga con la velocità dell’osservatore e che il tempo scorra allo stesso modo in ogni sistema di riferimento. Ma tali relazioni vanno modificate al fine di rispettare i principi di relatività di Einstein, e quindi affinché le leggi della fisica siano le stesse in tutti i sistemi inerziali ovvero che nessun esperimento possa mettere in evidenza il moto di un sistema inerziale rispetto ad un altro.

Inoltre, dal momento che a basse velocità le leggi della fisica classica sembrano essere perfettamente valide, le nuove trasformazioni dovranno ridursi alle trasformazioni galileiane quando le velocità in gioco sono molto più piccole della velocità della luce.

Le relazioni matematiche che rispondono a tali richieste furono formulate nella loro versione definitiva già nel 1904, grazie anche al contributo del matematico Poincaré, e prendono il nome di trasformazioni di Lorentz. Dedotte inizialmente a priori, al fine di ottenere l’invarianza delle equazioni di Maxwell, vennero derivate da Einstein a partire dai due postulati della relatività ristretta.

La derivazione di tali trasformazioni può essere tralasciato, mentre è interessante confrontarle con le analoghe trasformazioni galileiane.

Prendiamo in considerazione due riferimenti inerziali in moto l’uno rispetto all’altro ad una velocità v lungo l’asse in comune $x \equiv x'$ ; avendo avendo assunto $\gamma = 1 / \sqrt{1-v^2/c^2}$ consideriamo la seguente coppia di trasformazioni:

(G) $\begin{cases}x'=x - vt \\ y'=y \\ z'=z \\t'=t\end{cases}$ (L) $\begin{cases}x'=(x - vt) \gamma \\ y'=y \\ z'=z \\t'=(t-vx/c^2) \gamma \end{cases}$

Queste relazioni definiscono la corrispondenza matematica intercorrente tra ciò che degli osservatori in diversi sistemi di riferimento percepiscono; le prime, indicate con (G) corrispondono alle trasformazioni galileiane, mentre le (L) tengono conto dei principi della relatività e sono note come trasformazioni di Lorentz.

Per le (G) un osservatore in moto vede ciò che vede l’osservatore in quiete ma traslato lungo l’asse x nel verso opposto al suo moto. In direzione verticale e trasversale non si verifica alcuna traslazione e il tempo è misurato allo stesso modo da entrambi gli osservatori. Le (L) indicano che la traslazione lungo l’asse x va corretta di un fattore $\gamma$ . Ciò è l’equivalente per via analitica della contrazione delle lunghezze a cui siamo giunti precedentemente a partire dai soli postulati della relatività. In tale interpretazione la deformazione non è un fenomeno legato alla materia, come inteso da Lorentz, bensì una differente geometria dello spazio.

La radicale novità introdotta dalle (L) rispetto alle (G) consiste nella rinuncia al concetto di tempo assoluto: la variabile temporale t subisce anch’essa una trasformazione e ciò comporta che due orologi in moto l’uno rispetto all’altro non scandiscono il tempo allo stesso modo. Da ciò, oltre a derivare il fenomeno della dilatazione dei tempi, consegue la relatività della contemporaneità: eventi considerati contemporanei in un sistema di riferimento non lo saranno necessariamente in un sistema in moto rispetto al primo.

Gli eventi A e B sono allineati su una retta orizzontale, cioè sono ritenuti contemporanei dal primo osservatore. Per un osservatore in moto rispetto al primo, i corrispondenti A’ e B’ mediante le trasformazioni di Lorentz non si trovano sulla stessa retta orizzontale e pertanto non sono contemporanei.

Un ulteriore aspetto caratterizzante delle trasformazioni di Lorentz, nell’interpretazione di Einstein, consiste nella loro mutualità: possiamo ritenere in quiete il sistema che abbiamo supposto in moto e vicendevolmente il sistema in moto ritenerlo in quiete. Scambiando i ruoli dei due osservatori nulla va modificato nell’esposizione purché i riferimenti siano inerziali.

Si noti inoltre che per velocità di traslazione v molto minori della velocità della luce, il fattore $\gamma$ può essere considerato pari a uno; inoltre aumenta in maniera lenta per poi crescere enormemente quanto v si avvicina a c; questo comportamento si esprime affermando che il fattore di Lorentz tende all’infinito per v tendente a c, infatti il grafico di $\gamma$ è asintotico in un intorno sinistro di c.

Rappresentazione grafica del fattore di Lorentz in funzione della velocità v.

Ciò comporta che sia le trasformazioni spaziali che quella temporale delle (L) si riducono alle analoghe delle (G) per basse velocità e che gli effetti delle (L) diventano significativi solo quando la velocità di traslazione si avvicina a quella della luce. Per valori della velocità pari o superiori alla velocità della luce il fattore $\gamma$ perde di significato e di conseguenza anche trasformazioni di Lorentz. Questo ci fa intuire che, a differenza della meccanica classica, per la relatività ristretta la velocità della luce rappresenta un limite invalicabile.

Si può chiarire meglio cosa rappresenti questo limite prendendo in considerazioni due eventi: l’evento A corrispondente alla posizione e all’istante in cui avviene lo sparo di una pistola che scaglia un proiettile in direzione del bersaglio, mentre l’evento B corrisponde al punto e all’istante in cui il proiettile colpisce il bersaglio.

La pistola, posta nell’origine degli assi e puntata lungo l’asse delle ascisse, spara all’istante $t=0$ ; le coordinate spazio-temporali di quest’evento che abbiamo chiamato A sono $(0; 0)$ , dove la prima coordinata è quella spaziale e la seconda quella temporale. Supponiamo inoltre che B abbia coordinate spazio-temporali $(3; 2)$ , ovvero che il bersaglio si trovi ad una distanza di 3 secondi luce¹ dall’origine e che venga colpito all’istante $t = 2 \; s$ , la velocità del proiettile sarà pertanto $u = 1,5 c$ : una velocità superiore a quella della luce.

Il proiettile parte dalla pistola e successivamente colpisce il bersaglio.

Un osservatore in moto lungo l’asse x ad una velocità $v = 0,7 \; c$ , osserva gli stessi eventi. Il suo punto di vista si otterrà applicando a questa coppia di eventi le trasformazioni di Lorentz con fattore $\gamma =1 / \sqrt {1-0,7^2} \approx 1,4$ .

Per le (L) il corrispondente dell’evento A è $A'=(0; 0)$ , mentre $x'_B=(x-vt) \gamma \approx 2,24 \; \mathrm{ls}$ , e la variabile temporale $t'_B=(t-vx/c^2) \gamma \approx -0,14 \; \mathrm{s}$ : il corrispondente di B è quindi l’evento $B'=(2,24; -0,14)$ .

Nel secondo sistema di riferimento il bersaglio viene colpito dal proiettile e successivamente la pistola esplode il colpo.

Notiamo che l’evento B’ si verifica in un istante precedente dell’evento A’. In generale ciò potrebbe comporta alcun problema, ma dal momento che l’evento B è causato da A, avremo che l’effetto B’ è precedente alla causa A’: per l’osservatore in moto il bersaglio viene colpito dal proiettile prima che la pistola spari! Il paradosso è dovuto all’ipotesi che il proiettile o qualunque altro tipo di segnale possa superare la velocità della luce², e pertanto possiamo affermare che la velocità della luce non può essere superata da un oggetto in moto né da qualunque tipo di segnale.

Poniamoci nuovamente nel caso di un colpo di pistola che si muove questa volta ad una velocità ammissibile. L’evento corrispondente al proiettile che parte, nel sistema di riferimento in quiete è $A=(0;0)$ mentre il bersaglio colpito corrisponde all’evento $B=(3;15)$ , ovvero il proiettile colpisce il bersaglio posto a 3 secondi luce dopo 15 secondi, e ciò significa che la sua velocità è $u= \frac{x_{B} - x_{A}}{t_{B} - t_{A}} =0,2 \; c$ . Per la meccanica classica nel sistema di riferimento in moto con velocità $v=0,7 \; c$ il proiettile si muove alla velocità di $u'_{(G)}=0,2 \; c - 0,7 \; c=-0,5 \; c$ , per la legge di composizione delle velocità di Galileo.

Applicando le trasformazioni (L) agli eventi A e B, si ha $A'=(0;0)$ e, approssimando alla prima cifra decimale, $B'=(-10,5; 18,1)$ . La velocità del proiettile nel sistema di riferimento dell’osservatore in moto sarà $u'_{(L)}= \frac{x_{B'} - x_{A'}}{t_{B'} - t_{A'}} \approx - 0,58 \; c$ , risultato ben diverso da quanto previsto dalle trasformazioni classiche. Ciò comporta anche la legge di composizione delle velocità va modificata per coerenza con le trasformazioni di Lorentz.

A partire dalle relazioni (L), senza grosse difficoltà si possono derivare le trasformazioni relativistiche della velocità. Finora avevano considerato solo moti che avvengono lungo l’asse delle ascisse; nel caso generico il moto può avere componenti lungo ciascuno degli assi e pertanto la sua velocità si rappresenta come il vettore $\bold u =(u_x,u_y,u_z)$ . Sorvolando sui passaggi matematici, di seguito presentiamo le generiche trasformazioni (L’) derivate dalle (L) a confronto con le analoghe trasformazioni galileiane (G’).

(G’) $\begin{cases}u'_x=u_x-v \\ u'_y=u_y \\ u'_x=u_x \end{cases}$ (L’) $\begin{cases}u'_x=\frac{u_x-v}{1-u_x v/c^2} \\ u'_y=\frac{u_y}{(1-u_x v/c^2)\gamma} \\ u'_x=\frac{u_x}{(1-u_x v/c^2)\gamma} \gamma \end{cases}$

A riprova della validità di tali relazioni, applicando la (L’) all’esempio precedente si ottiene in maniera diretta $u'_{(L)}=\frac{0,2 \; c - 0,7 \; c}{1-0,7 \cdot 0,2}=\frac{-0,5 \; c }{0,86} \approx -0,58 \; c$ .

Per la (L’) la velocità subisce una correzione sia nella direzione del moto del sistema di riferimento che le altre direzioni. Ciò potrebbe apparire un controsenso in quanto il moto relativo dei due sistemi di riferimento modifica solo la lunghezza lungo la direzione del moto e non in direzione ortogonale, ma a ben vedere e necessario tener conto della trasformazione temporale presente nella (L) da cui scaturisce il fattore $( 1- u_x v / c^2 ) \gamma$ presente nelle componenti diverse da quella lungo la direzione del moto.

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