L’esperimento di Michelson e Morley

Negli ultimi anni del XIX secolo la maggior parte dei fisici erano convinti dell’esistenza di un sistema di riferimento assoluto per i fenomeni elettromagnetici; un sistema rispetto al quale la luce si propaga, attraverso l’etere immobile, in ogni direzione alla medesima velocità.

La verifica sperimentale di tale ipotesi poteva essere compiuta ad esempio mettendo in evidenza il moto della Terra rispetto all’etere. La Terra, nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole si muove ad una velocità v \approx 30 \, \mathrm{km/s} con un moto che è pressappoco circolare; pertanto essa cambia continuamente la sua orientazione e inverte la sua direzione ogni sei mesi. Sulla Terra si dovrebbe avvertire perciò un “vento d’etere”, così come un motociclista avverte l’aria sul volto quando è in movimento. La direzione di questo vento è quindi variabile e pertanto la velocità della luce dovrebbe apparire minore di c quando si muove in maniera concorde al moto della Terra e maggiore di c quando i due moti hanno verso opposto.

Il celebre esperimento di Albert Michelson, eseguito per la prima volta nel 1881 e successivamente in collaborazione con Edward Morley nel 1887 fu ideato allo scopo di individuare queste differenze nella velocità della luce. Venne realizzato un dispositivo in grado di visualizzare le frange di interferenza prodotta dalla sovrapposizione di due onde luminose il cui risultato è un’alternanza di bande chiare e scure, come nell’esperimento di Young. Lo strumento faceva uso di una serie di specchi; il primo, semiriflettente, scomponeva un raggio di luce in due raggi che proseguivano in direzioni differenti. Dopo una serie di riflessioni i due raggi erano fatti convergere su uno schermo producendo delle frange di interferenza.

Nel modello schematico e semplificato di tale apparato riportato in figura, la luce della sorgente S viene scomposta in M in due raggi che percorrono dei tratti all’incirca uguali, indicati in figura con l₁ e l₂, per poi riflettersi rispettivamente dagli specchi M₁ e M₂ e infine collimare su uno schermo. Le due onde luminose, percorrono tratti leggermente diversi e pertanto risultano fuori fase quando giungono sullo schermo, generando delle frange di interferenze.

Al fine di valutare la prevista differenza di fase tra le due onde luminose poniamo \beta =v/c, cioè il rapporto tra la velocità del sistema di riferimento e la velocità della luce, e definiamo il fattore di Lorentz dato dalla relazione \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

Il tratto l₁ da M a M₁ viene percorso dalla luce alla velocità c se misurata nel sistema di riferimento dell’etere e alla velocità (c-v) quando questa è misurata nel sistema di riferimento della Terra. Lo stesso tratto nel verso contrario cioè da M₁ a M è percorso alla velocità (c+v) nel sistema di riferimento della Terra. In totale la luce impiegherà un tempo t_1 = \frac{l_1}{c-v} + \frac{l_1}{c+v} = {2 {\gamma} ^ {2} l_1} /{c}.

Per compiere il tragitto tra M e M₂ e poi di nuovo in M nel riferimento dell’etere la luce dovrà “rincorrere” gli specchi che si muovono insieme alla Terra, percorrendo in un tempo t₂ due tratti in trasversale, ciascuno lungo {ct_2}/{2}.

Ma nello stesso intervallo di tempo t₂ lo specchio M si sarà spostato di una distanza vt_2. Applicando il teorema di Pitagora otteniamo l’equazione (c t_2 /2)^2 = l_2^2 +(v t_2/2)^2 che con alcuni semplici passaggi, risolta rispetto a t₂ restituisce la soluzione {t_2} ={2 \gamma{l_2}} / {c} .

I due raggi di luce separatisi in M impiegano rispettivamente t_1={2 \gamma^2 l_1 }/ c e t_2={2 \gamma l_2 }/ c per percorrere rispettivamente i tratti l₁ e l₂ in entrambi i versi e rincontrarsi in M. Quando le due onde si ricongiungeranno avranno percorso tratti che differiscono di \Delta =c ( {t_2} - {t_1} )=2 \gamma {l_2} -2 {\gamma} ^ {2} {l_1} .

Se all’inizio del loro percorso erano in fase non lo saranno più alla fine per via della differenza tra i cammini ottici e pertanto le due onde interferiranno generando una serie di frange.

Ruotando poi l’apparato di 90° il tratto allineato al moto della Terra sarà l₂ mentre l₁ corrisponderà al tratto perpendicolare. La situazione è completamente analoga al caso precedente con l’unica differenza che i ruoli di l₁ e l₂ sono invertiti. In maniera immediata si ottiene che la differenza del nuovo cammino ottico è {\Delta}' = 2 {\gamma}^2 {l_2} - 2 {\gamma} {l_1} . Anche in questo caso si generano nelle frange di interferenza.

Notiamo che le quantità {\Delta} e {\Delta}' non sono identiche e la loro differenza risulta essere \delta =\Delta'-\Delta=2(l_1+l_2)(\gamma^2-\gamma). Questo comporta che le frange di interferenza tra il primo e il secondo caso subiranno un leggero spostamento.

Volendo quantificare questa differenza si può applicare lo sviluppo binomiale¹Lo sviluppo binomiale ci permette di scrivere, per ogni α e per ogni x sufficientemente piccolo, (1+x)α≈1+α x. Ponendo x=-β² e per α=-½ si ottiene γ≈1+β²/2 mentre per α=-1 si ha γ²≈1+β². dei fattori \gamma e \gamma^2 e approssimare tale differenza con la quantità \delta \approx 2(l_1+l_2)[(1+ \beta^2)-(1+\beta^2 /2)]=(l_1+l_2) \beta^2.

L’interferometro usato da Michelson nel 1881 era composto da due bracci di lunghezza pressoché uguali dotato di un sistema di specchi che permetteva di ottenere un cammino ottico all’incirca di (l_1+l_2) = 1,2 \mathrm{m}. Per l’esperimento fu usata una luce gialla con una lunghezza d’onda di \lambda = 5,9 \cdot 10^-7 \mathrm{m} e poiché il rapporto tra la velocità della Terra e quella della luce è \beta \approx 10^{−4}, ci si attendeva spostamento di \Delta N= \frac{\delta}{\lambda} \approx \frac{l_1+l_2}{\lambda} \beta^2=\frac{1,2 \; \mathrm{m}}{5,9 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}} \cdot 10^{-8} \approx 0,04 frange.

Benché gli spostamenti di frange fossero inferiori a quanto atteso la precisione della strumentazione non era sufficiente ad escludere l’ipotesi dell’etere stazionario.

Negli anni successivi l’apparato fu migliorato con il contributo di Edward Morley. Il sistema di specchi era montato per ragioni di stabilità su una massiccia lastra di pietra fatta galleggiare nel mercurio, in modo da essere ruotato con facilità; inoltre mediante una serie di riflessioni si ottenne un cammino ottico totale di circa 22 m, portando a 0,4 lo spostamento atteso di frange.

Gli esperimenti effettuati con questo nuovo apparato nel 1887 e ripetuti a diverse ore del giorno e della notte e in diverse stagioni, in modo da variare il più possibile l’orientamento dello strumento rispetto al presunto riferimento dell’etere, con gran sorpresa, non evidenziarono lo spostamento di frange atteso.

L’esito dell’esperimento era un enigma: ci si aspettava che la velocità della luce fosse costante nel solo riferimento dell’etere; per le trasformazioni di Galileo il moto della luce si sarebbe dovuto comporre con il moto del nostro pianeta, mentre quest’esperimento dimostra che la velocità della luce è costante in qualunque direzione. In altri termini non era possibile rilevare il moto relativo della Terra rispetto al presunto riferimento assoluto.

Si presentò pertanto la necessità di prendere in considerazione l’esistenza di una simmetria tra i fenomeni meccanici e quelli elettromagnetici. L’ipotesi della simmetria implica al contempo l’incompatibilità tra i principi della meccanica classica e le leggi dell’elettromagnetismo, con la conseguente messa in discussione dei due pilastri su cui all’epoca era basata l’interpretazione del mondo fisico. Quest’ultima alternativa non era per nulla gradita e pertanto furono proposte una serie di teorie alternative che potessero giustificare il fallimento dell’esperimento di Michelson e Morley al fine di salvaguardare l’ipotesi di un sistema di riferimento assoluto per i fenomeni elettromagnetici.

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