È stato sottolineato che la relatività è il modo con cui si relazionano le osservazioni compiute da osservatori posizionati in luoghi diversi ed eventualmente in moto gli uni rispetto agli altri. Ci interessano in particolare le relazioni che possono sussistere tra osservatori posti in differenti sistemi di riferimento inerziali. Anche se non siamo certi dell’esistenza di un sistema di riferimento assoluto sappiamo che è possibile scegliere un sistema di riferimento in cui le deviazioni prodotte dal suo moto sono sufficientemente piccole da non inficiare il risultato dei nostri esperimenti. Consideriamo a tale scopo il sistema di riferimento solidale con suolo terrestre, con i due assi orientati lungo i punti cardinali e il terzo verticale; questo sistema si può ritenere “sufficientemente inerziale” per i fini che ci proponiamo. L’origine degli assi lo possiamo immaginare corrispondente alla base di un alto edificio, un campanile o un palo della luce.
Nel sistema di riferimento solidale al suolo il treno ha velocità v mentre l’automobile ha velocità va ma per l’osservatore sul treno l’auto ha velocità va–v.
Un osservatore posto in questo sistema di riferimento vede un’automobile e un treno che viaggiano parallelamente l’una all’altro su un tratto rettilineo e alla stessa velocità mentre le case e gli alberi gli appaiono fermi.
Un secondo osservatore posto sul treno osserva lo stesso paesaggio, ma dal suo punto di vista sono le case e gli alberi ad essere in movimento, mentre l’automobile che percorre la strada parallela ai binari nello stesso verso e a pari velocità gli sembrerà ferma.
Ciò che il primo osservatore ritiene fermo risulterà in moto rettilineo uniforme per il secondo, e ciò che è in moto nel primo sistema di riferimento potrebbe essere considerato in quiete nel secondo.
Il treno si muove lungo l’asse x ad una velocità v e all’istante t = 0 transita per l’origine del sistema di riferimento. Per l’osservatore posto sul treno un oggetto che per il primo osservatore è fermo, si muove ad una velocità v (e con direzione opposta al treno), l’equazione oraria del moto di questo oggetto rispetto al treno sarà x' = -vt: il suo sarà un moto rettilineo uniforme1Da questo punto in poi per convenzione le variabili prive dell’apice rappresentano le coordinate nel sistema di riferimento solidale al terreno, quelle omonime con l’apice indicano le coordinate nel sistema di riferimento in moto rispetto al primo.. L’automobile che si muove parallela al treno (con equazione oraria del moto x = v t), non muta le proprie coordinate nel sistema di riferimento del viaggiatore, pertanto la sua equazione oraria del moto è x' = 0: l’automobile è in quiete rispetto al treno.
Più in generale se l’automobile si muove ad una velocità va diversa da quella del treno, la sua equazione oraria del moto sarà x=v_a t. Nel sistema di riferimento del treno l’equazione oraria del moto diventa x'=(v_a-v) t. Posto v'_a=v_a-v si ha quindi che l’equazione oraria del moto dell’automobile nel sistema di riferimento del treno si può scrivere come x'=v'_a t che pertanto risulta essere un moto rettilineo uniforme. In definitiva il moto rettilineo uniforme si trasforma in moto rettilineo uniforme nel cambiamento tra sistemi di riferimenti in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro.
Ciò significa che anche il sistema di riferimento del treno è un sistema inerziale, alla stregua del sistema di riferimento solidale con il suolo e non c’è nessuna ragione per ritenere il primo “più inerziale” del secondo. Quest’osservazione corrisponde in sintesi al principio di relatività galileiana: un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema inerziale è anch’esso inerziale: un osservatore posto sul treno non ha alcun motivo per non ritenersi in quiete. Ciò equivale alla singolare sensazione che si prova quando su un treno fermo in stazione si viene affiancati da un secondo treno; per un attimo si può avverte di essere in movimento prima di accorgersi che in realtà è l’altro treno a muoversi.
Il principio di relatività galileiana più in generale afferma che nessun esperimento compiuto in un sistema di riferimento inerziale potrà evidenziare il moto di questo sistema rispetto ad un secondo sistema di riferimento anch’esso inerziale. Infine, ipotizzando l’esistenza di un sistema inerziale, o comunque prendendo in considerazione un sistema di riferimento che entro i limiti sperimentali si possa ritenere inerziale, ogni sistema in moto rettilineo uniforme rispetto quest’ultimo, è anch’esso un sistema di riferimento inerziale.
